Actividad 6

En esta última actividad del curso de física computacional, uno debía de buscar una forma de expresar la solución de la ecuación diferencial del problema como una serie de Fourier. Hay problemas en los que esto resulta bastante sencillo de realizar, pues la ecuación de recurrencia para poder conocer el valor de cada coeficiente de Fourier dependiendo del término de la serie resulta bastante sencilla.

Traté de resolver la ecuación diferencial como en los ejemplos que se muestran en la red; el primer problema con el que me topé es que mi ecuación diferencial es no lineal. Como el péndulo de Kapitza oscila con una amplitud angular bastante baja, pude linealizar la ecuación gracias a cierto término que se simplifica al considerar esto. Sin embargo, eso nada más era resolver un pedacito del problema. El problemón que tuve después fue poder encontrar una serie de Fourier que pudiera satisfacer la ecuación diferencial. Al tratar de hacer esto, nunca obtenía yo una ecuación de recurrencia que me ayudara a encontrar los coeficientes de Fourier de mi solución. La estructura de mi ecuación no aparecía en ningún ejemplo de la red para poder resolver ecuaciones diferenciales con series de Fourier, la mayoría de los ejemplos era con ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes igualadas a alguna función periódica a la cual le podía calcular uno su correspondiente serie de Fourier. La mía era homogénea, y además era de coeficientes variables. Si quitaba el forzamiento, me quedaría un sin chiste péndulo simple, así que eso no era una opción.

Ya que estuve dos días tratando de resolverla a fuerza bruta, decidí que sería mejor ver si había alguna forma de tratar esa ecuación diferencial de Kapitza linealizada con series de Fourier. Con lo que me topé fue con un paper en el que trataban una ecuación diferencial aun más general, de la cual la mía formaba parte de su familia: la ecuación diferencial de Mathieu.

A pesar de que encontré una forma de utilizar series de Fourier para resolver esa ecuación diferencial, no me sentí muy satisfecho con la solución numérica a la que llegué, sentí que estaba muy limitado por:

1) La capacidad de Maxima para realizar ciertos cálculos (los eigenvalores de matrices de órdenes mayores a 3).

2) Mi propia capacidad para poder digerir el documento que estaba leyendo, el cual, para ser sincero, no logré entender del todo, pero con el cual hice mi mayor esfuerzo.

Concluyo esto diciendo que, personalmente no me siento muy satisfecho con lo que presento en esta actividad, pero espero sea del agrado de quien sea que la encuentre.

Antes de comenzar con la sesión de preguntas de la actividad 6, voy a responder las preguntas que había prometido responder para la actividad 5, dado que apenas hasta esta actividad utilicé wxMaxima. Entonces, transportando las preguntas de la actividad 5 acá...

¿Como ha sido tu experiencia en el uso de wxMaxima?

Ya había trabajado con Maxima en mi curso de Cálculo 3, y pues, en las sesiones de laboratorio que teníamos y que trabajábamos con Maxima estaban bastante agradables. Me parecía una herramienta útil, y sentí que me había familiarizado ya con ella.

¿Que piensas de la utilidad de los sistemas de álgebra computacional como wxMaxima

La neta sí facilitan mucho los cálculos, nada más que, al menos en el caso de wxMaxima, noté muy rápido la incapacidad de realizar muchos cálculos. En esta actividad traté, por ejemplo, de calcular los eigenvalores y eigenvectores de una matriz de orden 5. Reduje un orden más a la matriz, para ver si así sí podía hacer los cálculos, y seguía incapaz de hacerlos. Hasta que llegué al orden 3 podía hacer los cálculos, y éstos eran algo tardados.

Fuera de eso, me pareció bueno tenerlo a la mano.

¿Cuáles fueron tus dificultades con su uso?

Tuve algunos errores extraños a la hora de estar trabajando. Hubo un parámetro que jamás pude volver a cambiarle el valor, y que me obligó a crear otro archivo para poder estar manejando sus valores.

Además, reitero, no podía calcular los eigenvalores de una matriz de orden 5.

¿La documentación en línea sobre wxMaxima o Maxima es suficiente?, ¿Que detalles no encontraste?

Sí me pareció suficiente, encontré varias páginas con suficiente información y ejemplos para hacer la actividad.

Ahora sí, respondiendo las preguntas de la actividad 6

Habiendo explorado un poco mas sobre wxMaxima, te ha convencido su utilidad en el desarrollo de cálculos complejos y tediosos. ¿Consideras su utilidad posterior al terminar este curso?

Sí, yo creo que sí lo utilizaré posteriormente. Me pareció muy buena herramienta para visualizar y calcular, así que, supongo que la adaptaré a mi no muy vasta librería de programas.

¿Qué descubriste nuevo en esta actividad? ¿Deseas comentar?

De entrada, que puedo utilizar series de Fourier para resolver una ecuación diferencial. De hecho, fue así como comenzó el desarrollo del análisis de Fourier. Eso me gustó mucho, la verdad nunca había pensado en utilizar series de funciones trigonométricas para ello.

También descubrí que el péndulo de Kapitza es mucho más complejo de lo que esperaba. Primero había intentado resolverla proponiendo una serie de Fourier cualquiera, y veía que no podía encontrar una ecuación de recurrencia que me ayudara a encontrar los coeficientes de Fourier de mi propuesta. El problema era que mi ecuación era homogénea. Pero no nada más era homogénea, era una ecuación lineal con un coeficiente variable. Eso complicó más el problema todavía, así que me puse a buscar algún paper en el que trataran la solución del péndulo de Kapitza linealizado, y encontré un tratamiento de la ecuación de Mathieu (que, al aplicar cierto cambio de variable en la ED adquiere la forma de la ED de Mathieu), y me di cuenta de que era un desarrollo bastante complicado el que mostraban ahí, pero que al final de cuentas empleaban series de Fourier para dar con la solución

Sinceramente no estoy muy satisfecho con mi desempeño en esta actividad.

¿Qué te gusto o no te gusto de esta actividad?

No me gustó no poder hacer la actividad como el resto de mis compañeros, ni siquiera parecido. Es decir, me gustó mucho tener como reto buscar la solución en forma de series trigonométricas de una ecuación diferencial diferente, lo reconozco, pero no me gustó el no haber utilizado Maxima como se esperaba en esta actividad, ni en la actividad 5.

Además, ¡no me agradó la incapacidad de Maxima para poder calcular eigenvalores para matrices de órdenes mayor a 3 sin que estallara a la hora de calcular! A decir verdad, desconozco si hay algún programa con el que sí se puedan hacer estos cálculos a diestra y siniestra.

¿Como te sientes en general, al concluir el curso de Física Computacional? ¿Sientes que aprendiste?

Pues, siento que ya estoy aprendiendo a tener mucha rabia y obsesión a los problemas. La neta sí me mantuvo ocupado este problema, y todavía me tiene ocupado. Siento que sí aprendí, siento que complementé parte del curso de ecuaciones diferenciales, ya que no estudiamos nunca sistemas de ecuaciones diferenciales, también que complementé el curso de análisis numérico.

Gracias al problema que estuve estudiando conocí la ecuación de la cual ahora estoy enamorado: la ecuación de Euler-Lagrange. Aparte, quizá utilice en el futuro algunos códigos que tengo guardados por aquí para resolver ecuaciones diferenciales, o estudiar el comportamiento de cierto sistema físico en el plano fase, o estudiar su comportamiento cerca de los puntos de equilibrio, que en mi opinión es de lo más destacable del curso. Siento que aprendí a ser un poco más independiente, y a apropiarme de los problemas.

¿Te gustó el formato de este curso? ¿Que aspectos te gustaron? ¿Cuáles no?
De 0 a 100: ¿cómo calificarías el curso?, ¿los contenidos?, ¿las herramientas utilizadas?, ¿el ambiente del grupo?

Sí me gustó mucho el formato del curso, me gusta que esté todo tan organizado y compactado, la literatura que nos propuso el profesor revisar para poder llevar a cabo las actividades, todo eso se me hizo muy padre.

El curso me pareció bien, lo calificaría con un 90, pero yo siempre me he mostrado muy reacio a las herramientas computacionales. Me gustó mucho el contenido del curso, así que le daría un 100 de calificación. Me gustaron las herramientas que nos presentaron en el curso, y en particular me encantó haber entrado de una vez al mundo de la redacción en LaTeX, así que también un 100.  Respecto del ambiente del grupo, lo sentí algo desanimado este semestre, así que le doy un 60. Y no nada más en esta materia, en el resto también se manifestó este comportamiento. Espero que eso cambie lo más pronto posible. 

Sin embargo, reitero, me hubiera gustado poder hacer las actividades 5 y 6 como el resto de mis compañeros. No sé, poder haber calculado una matriz jacobiana, estudiar el sistema de ecuaciones diferenciales lineales, ver cómo interpretar su comportamiento por la estructura de los eigenvalores de la matriz jacobiana cerca de los puntos de equilibrio, todo eso se me hubiera hecho muy padre. Aprendí cómo estaba el rollo de forma somera, pero me hubiera gustado zambullirme con mi problema utilizando esas herramientas también.

¿Que recomiendas para futuros cursos de Física Computacional?

Poner fechas límites para entregar las actividades, ¡se trabaja mejor bajo presión!

De todo, ¿qué fue lo que más te gusto?

Ser independiente a la hora de resolver un problema, haber aprendido a escribir en LaTeX, aprender más sobre física, no poder dormir porque estás pensando en cómo demonios le vas a hacer para resolver tu problema.

De todo, ¿que fue lo que no te gusto?

Como mencioné antes, el no tener la opción de hacer la actividad como se contemplaba originalmente gracias a la naturaleza de mi problema. Sé que debe ser muy, muy difícil planificar alguna actividad en la que el nivel de dificultad sea más o menos homogéneo en todos los problemas, y que siga siendo retadora la actividad, pero si existe la opción de presentar una actividad así, creo que estaría muy bien hacerla.

Actividad 6.